천재 러시아 수학자에게 중국인 수학자가 저지른 짓

세계 7대 수학 난제 중 유일하게 풀린 푸앵카레의 추측

푸앵카레는 아버지가 의대 교수, 사촌동생(레몽 푸앵카레)이 프랑스 12대 대통령일 정도로 명문가에서 명석한 두뇌를 갖고 태어났다. 위상수학, 대수기하학, 상대론, 천체역학, 미분방정식, 열역학, 과학철학 등 다양한 분야에서 업적을 남겼기에, 수학자이면서도 노벨물리학상 후보로 자주 거론됐다. 평소 우주에 관심이 많았던 그는 어느 날 우주의 모양을 알 수 있을 것이라 생각하며, 한 가지 추측을 내놓았다. 바로 푸앵카레 추측이다.

그 수식을 말로 옮기면 다음과 같다. ‘명확하게 끊어지는 부분이 없이 하나로 연결된, 닫혀 있고 무한하게 뻗어나가지 않는 세상의 다양한 형태는 당구공과 위상동형이다.’ 역시 어렵다. 이번에는 마젤란이 지구를 돌 때 사용할 뻔했던 밧줄이라는 개념을 넣어보자. 우주에 어떻게 밧줄이 놓여 있더라도, 자르거나 끊지 않고 한 점으로 모을 수 있다면 우주는 당구공과 위상동형이다.

위상동형이라는 표현은 생소한데, 위상수학의 개념이다. 기존 기하학에서는 삼각형, 사각형, 원은 전혀 다르게 정의되는 도형이지만, 위상수학에서는 셋 모두 같다고 보며 위상동형이라 부른다. 가위로 자르지 않고, 오직 조물조물 주물러 비슷한 모양으로 만들 수 있다면 전부 위상동형이다. 쉽게 말해 대충 비슷하다는 것이다.

우리가 살 집을 고를 때는 구조를 보면서 까다롭게 살핀다. 집이 25평형이라면 방이 몇 개고 문이 어디에 있는지가 중요하다. 하지만 100평형은 어떨까. 이미 충분히 넓기 때문에 아마 예전만큼 꼼꼼히 보지는 않을 것이다. 만약 수십만 평의 넓은 집이라면, 아니 아예 무한대에 가까운 크기의 집이라면 세세한 구조가 중요할까. 아마 전혀 중요하지 않을 테다. 우주는 굉장히 넓기 때문에 형태를 알아내는 것이 너무 어렵지만, 아주 단순화한다면 대략적으로라도 추측할 수 있지 않을까.

우주선에 밧줄을 달고 우주를 크게 한 바퀴 돌아 다시 지구로 귀환했을 때, 출발 당시 지구에 묶여 있던 밧줄과 도착한 밧줄 끝을 함께 잡아당겨 어디에도 걸리지 않고 끝까지 당길 수 있다면 우주의 모양은 당구공과 대충 비슷하다는 말이다. 우주를 탐험하려면 대강의 형태를 알아야 했고, 그래서 푸앵카레는 인류에게 아주 위대한 추측을 던졌다.